线性代数

线性代数是机器学习和深度学习的数学基础。本页按照概念的依赖关系整理基础知识，而不是按照题目出现的顺序堆叠结论。

主线是：

1. 向量与运算；
2. 向量空间、子空间、基与维度；
3. 基坐标与坐标变换；
4. 矩阵、初等变换与秩；
5. 向量组与线性方程组；
6. 行列式、逆矩阵与可逆性；
7. 特征值、特征向量与对角化；
8. 二次型与正交变换。

公式书写约定

本项目已启用 MathJax。独立公式统一使用成对的双美元符号，行内公式使用成对的单美元符号。方括号本身只是普通 Markdown 文本，不能作为数学公式的定界符。

例如，L1 范数应写成：

$$\Vert x{\Vert }_1=\sum _{i=1}^n|x_i|$$

而不是把公式直接放在普通的方括号中。

一、向量基础

1.1 向量与坐标

在列向量约定下，$n$ 维向量写成：

$$x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^n$$

标准基为：

$$e_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right],\dots ,e_n=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right]$$

任意向量都可以写成：

$$x=x_1{e}_1+\cdots +x_n{e}_n$$

这里的坐标数字依赖于所选基。同一个几何向量换一组基后，向量本身不变，但坐标表示可能改变。

1.2 范数

范数用来衡量向量的大小。常见范数有 L1、L2 和无穷范数。

L1 范数

对向量 $x=(x_1,\dots ,x_n)$：

$$\Vert x{\Vert }_1=\sum _{i=1}^n|x_i|$$

计算方法是先对每个分量取绝对值，再求和。例如：

$$x=(-3,4,-2)$$$$\Vert x{\Vert }_1=|-3|+|4|+|-2|=9$$

L2 范数

$$\Vert x{\Vert }_2=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}$$

L2 范数就是通常所说的欧氏长度。

无穷范数

$$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{1\le i\le n}{max}|x_i|$$

L1 正则化中的 $\lambda \Vert w{\Vert }_1$ 是将 L1 范数作为惩罚项加入目标函数，通常会促进参数稀疏；它和单纯计算 L1 范数是两个不同层次的问题。

1.3 点积

对两个同维向量 $a=(a_1,\dots ,a_n)$ 和 $b=(b_1,\dots ,b_n)$，标准欧氏点积为：

$$a\cdot b=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i$$

点积的结果是标量，满足双线性和对称性：

$$\begin{array}{rl}a\cdot (b+c)& =a\cdot b+a\cdot c\\ (a+b)\cdot c& =a\cdot c+b\cdot c\\ (\lambda a)\cdot b& =\lambda (a\cdot b)\\ a\cdot b& =b\cdot a\end{array}$$

零向量与任意向量的点积恒为零：

$$\mathbf{0}\cdot a=0$$

点积还可以表示夹角：

$$a\cdot b=\Vert a{\Vert }_2\Vert b{\Vert }_2\cos \theta$$

当两个非零向量满足 $a\cdot b=0$ 时，它们正交。

柯西–施瓦茨不等式

$$|a\cdot b|\le \Vert a{\Vert }_2\Vert b{\Vert }_2$$

右侧是两个 L2 范数的乘积，不是范数之和。等号成立的典型条件是两个非零向量线性相关。

1.4 叉积

标准叉积是 ${\mathbb{R}}^3$ 中两个向量的运算。设：

$$u=\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right],v=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right]$$

则：

$$u\times v=\left[\begin{array}{c}{u}_2{v}_3-u_3{v}_2\\ u_3{v}_1-u_1{v}_3\\ u_1{v}_2-u_2{v}_1\end{array}\right]$$

也可以用行列式形式记忆：

$$u\times v=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ u_1& u_2& u_3\\ v_1& v_2& v_3\end{array}\right|$$

例如：

$$u=\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right],v=\left[\begin{array}{c}4\\ 0\\ -1\end{array}\right]$$

则：

$$\begin{array}{rl}u\times v& =\left[\begin{array}{c}(-2)(-1)-3\cdot 0\\ 3\cdot 4-1\cdot (-1)\\ 1\cdot 0-(-2)\cdot 4\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{c}2\\ 13\\ 8\end{array}\right]\end{array}$$

叉积的主要性质：

• $u\times v$ 同时垂直于 $u$ 和 $v$；
• $\Vert u\times v{\Vert }_2=\Vert u{\Vert }_2\Vert v{\Vert }_2\sin \theta$，等于平行四边形面积；
• 三角形面积为 $\frac{1}{2}\Vert u\times v{\Vert }_2$；
• 满足反交换律 $v\times u=-(u\times v)$，交换顺序会改变方向；
• $u\times v=0$ 当且仅当两个向量线性相关；
• 对两个输入分别线性，但一般不满足结合律。

方向使用右手定则判断。叉积常用于求平面法向量、三角形面积、力矩 $\tau =r\times F$、角动量 $L=r\times p$，以及三维图形中的表面法线、光照方向和碰撞方向。

叉积是三维空间中的专门运算，不能把三维叉积公式直接套到普通高维机器学习特征向量上；高维场景通常使用点积、范数、矩阵乘法或外积。

1.5 张量阶数与指标收缩

张量可以用多个指标表示。指标的个数称为张量的阶数：标量是 $0$ 阶张量，向量是 $1$ 阶张量，矩阵是 $2$ 阶张量，$T_{ijk}$ 则是 $3$ 阶张量。这里的“阶数”不要和矩阵的秩混淆。

张量收缩是指让两个指标配对，并对这个配对指标求和。被求和的指标称为哑指标，最终仍然出现在结果中的指标称为自由指标。每收缩一对指标，张量阶数减少 $2$：

$$\boxed{{\displaystyle \text{收缩一对指标：张量阶数减少 }2}}$$

例：收缩三阶张量的第 1 个和第 3 个指标

设有三阶张量：

$$T_{ijk}$$

对第 $1$ 个指标 $i$ 和第 $3$ 个指标 $k$ 做收缩，就是令 $k=i$，并对 $i$ 求和：

$$\boxed{{\displaystyle S_j=\sum _i{T}_{iji}}}$$

此时 $i$ 是哑指标，已经被求和消去；$k$ 与 $i$ 配对后也不再是独立指标；只有 $j$ 是自由指标。因此结果为 $1$ 阶张量，也就是向量：

$$T_{ijk}\underset{\text{第 1、3 个指标}}{\overset{\text{收缩}}{\to }}{S}_j=\sum _i{T}_{iji}$$

从阶数上也可以直接判断：

$$3-2=1$$

如果 $i,j,k\in \{1,2\}$，则：

$$\begin{array}{rl}{S}_1& =T_{111}+T_{212}\\ S_2& =T_{121}+T_{222}\end{array}$$

所以：

$$S=\left[\begin{array}{c}{S}_1\\ S_2\end{array}\right]$$

确实是一个向量。若题目选项中把结果的阶数列为 $1$ 阶张量或向量，则应选择对应选项。

矩阵迹是张量收缩的特例

对于二阶张量（矩阵）$A_{ij}$，收缩两个指标得到：

$$\mathrm{tr}(A)=\sum _i{A}_{ii}$$

两个指标都被求和后不再有自由指标，因此结果是 $0$ 阶张量，也就是标量：

$$\boxed{{\displaystyle \text{矩阵的 Trace 本质上是二阶张量的一次指标收缩}}}$$

在爱因斯坦求和约定或 einsum 一类表达中，重复出现并参与求和的指标就是收缩指标；没有被求和、保留在结果下标中的指标就是自由指标。判断张量收缩题时，先数原始指标，再标出被求和的指标，最后数剩余的自由指标。

二、向量空间、子空间与基

2.1 线性组合与张成

向量 $v$ 是 $v_1,\dots ,v_k$ 的线性组合，指存在标量 $c_1,\dots ,c_k$，使：

$$v=c_1{v}_1+\cdots +c_k{v}_k$$

所有这样的线性组合构成的集合称为张成空间：

$$\mathrm{span}(v_1,\dots ,v_k)$$

张成空间表示这组向量能够覆盖的全部方向。

2.2 子空间

设 $W$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的子集。要判断 $W$ 是否为子空间，需要同时满足：

1. 包含零向量：$\mathbf{0}\in W$；
2. 对加法封闭：任意 $u,v\in W$，都有 $u+v\in W$；
3. 对数乘封闭：任意 $u\in W$、$\lambda \in \mathbb{R}$，都有 $\lambda u\in W$。

实战中先检查零向量：若 $\mathbf{0}\notin W$，立即可以判定它不是子空间；包含零向量只是必要条件，仍要检查后两个封闭性条件。

也可以把后两个条件合并成线性组合判定：

$$u,v\in W,\alpha ,\beta \in \mathbb{R}⟹\alpha u+\beta v\in W$$

例如：

$$W=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x+y=0\}$$

是子空间，因为零向量满足条件，向量相加或数乘后仍然满足坐标和为 0。

而：

$$S=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x+y=1\}$$

不是子空间，因为 $(0,0)\notin S$。这类等式右侧为非零常数的集合通常是仿射集合，而不是过原点的子空间。

2.3 线性相关与线性无关

向量组 $v_1,\dots ,v_k$ 线性相关，当且仅当存在一组不全为 0 的系数，使：

$$c_1{v}_1+\cdots +c_k{v}_k=\mathbf{0}$$

如果只有所有系数都为 0 才能得到零向量，则向量组线性无关。

常用判断：

• 向量组包含零向量时，一定线性相关；
• 在 ${\mathbb{R}}^n$ 中，超过 $n$ 个向量一定线性相关；
• 若一个向量可以由其余向量线性表示，则向量组存在冗余；
• 线性无关描述“没有冗余”，张成描述“覆盖范围”，二者不是同一个条件。

2.4 基与维度

向量空间 $V$ 的一组基必须同时满足：

1. 线性无关；
2. 张成整个空间。

因此：

$$\boxed{{\displaystyle \text{基}=\text{线性无关}+\text{张成整个空间}}}$$

零向量不能属于任何基。若向量组包含 $\mathbf{0}$，就有：

$$1\cdot \mathbf{0}+0\cdot v_2+\cdots +0\cdot v_k=\mathbf{0}$$

存在不全为 0 的系数使线性组合为零，所以该向量组线性相关。

有限维向量空间的维度是任意一组基中向量的个数：

$$\dim V=\text{一组基中向量的个数}$$

由于 ${\mathbb{R}}^n$ 的标准基有 $n$ 个向量：

$$\boxed{{\displaystyle \dim ({\mathbb{R}}^n)=n}}$$

基的选择不唯一，但同一个有限维空间的所有基包含相同数量的向量。

2.5 子空间的和、交集与维数

两个子空间的交集 $S\cap T$ 表示同时属于 $S$ 和 $T$ 的向量组成的集合：

$$\boxed{{\displaystyle S\cap T=\{v\mid v\in S\text{ 且 }v\in T\}}}$$

交集仍然是一个子空间。与之对应，子空间的和定义为：

$$S+T=\{s+t\mid s\in S,t\in T\}$$

有限维子空间满足维数公式：

$$\boxed{{\displaystyle \dim (S+T)=\dim S+\dim T-\dim (S\cap T)}}$$

由于 $S+T$ 是环境空间的子空间，因此可以得到常用下界：

$$\dim (S\cap T)\ge \dim S+\dim T-\dim (\text{环境空间})$$

例：判断 ${\mathbb{R}}^3$ 中两个子空间交集的维数

设：

$$S=\mathrm{span}\{\left[\begin{array}{c}2\\ 2\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}8\\ 5\\ 6\end{array}\right]\}$$$$T=\mathrm{span}\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right]\}$$

每组中的两个向量都不是倍数关系，因此：

$$\dim S=\dim T=2$$

它们都是 ${\mathbb{R}}^3$ 中经过原点的二维平面。又因为 $S+T\subseteq {\mathbb{R}}^3$，所以：

$$\begin{array}{rl}2+2-\dim (S\cap T)& =\dim (S+T)\\ & \le 3\end{array}$$

从而：

$$\dim (S\cap T)\ge 1$$

因此交集不可能只有零向量。

但仅凭这个不等式还不能直接断定交集维数就是 $1$，因为它也可能是 $2$。若 $\dim (S\cap T)=2$，由于 $S\cap T\subseteq S$ 且 $\dim S=2$，就必须有 $S\cap T=S$；同理还会有 $S\cap T=T$，即 $S=T$。

本题中两个平面确实不同。例如，$T$ 的两个生成向量的叉积为：

$$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ -4\\ 2\end{array}\right]$$

因此 $T$ 的平面方程可以写成：

$$x-2y+z=0$$

但 $S$ 的第一个生成向量不满足该方程：

$$2-2\cdot 2+3=1\ne 0$$

所以：

$$\left[\begin{array}{c}2\\ 2\\ 3\end{array}\right]\notin T,S\ne T$$

接着找一个同时属于 $S$ 和 $T$ 的非零向量。对 $S$ 的生成向量：

$$8\left[\begin{array}{c}2\\ 2\\ 3\end{array}\right]-2\left[\begin{array}{c}8\\ 5\\ 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 6\\ 12\end{array}\right]$$

对 $T$ 的生成向量：

$$-6\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right]+3\left[\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 6\\ 12\end{array}\right]$$

所以 $(0,6,12{)}^{\mathsf{T}}$ 同时属于 $S$ 和 $T$，其方向可以化为 $(0,1,2{)}^{\mathsf{T}}$。结合前面已经得到的下界，以及 $S\ne T$ 说明交集不能是二维平面，最终：

$$\boxed{{\displaystyle S\cap T=\mathrm{span}\left\{\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right]\right\}}}$$

因此：

$$\boxed{{\displaystyle \dim (S\cap T)=1}}$$

几何上，在 ${\mathbb{R}}^3$ 中，两个不同的过原点二维平面必定交于一条过原点的直线。这里的“不同”很重要：如果两个平面完全重合，交集维数就是 $2$。

三、基坐标与坐标变换

3.1 基坐标不等于标准坐标

设 $E$ 是标准基，$B=(b_1,b_2,b_3)$ 是另一组基：

$$b_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right],b_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right],b_3=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$$

若：

$$[v{]}_B=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right]$$

它表示：

$$v=2b_1-b_2+3b_3$$

不是说 $v$ 的标准坐标就是 $(2,-1,3{)}^{\mathsf{T}}$。

3.2 过渡矩阵

把 $B$ 的基向量用标准基坐标表示，并按列排列：

$$P_{B\to E}=[b_1{b}_2{b}_3]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right]$$

于是：

$$[v{]}_E=P_{B\to E}[v{]}_B$$

本题中：

$$[v{]}_E=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5\\ 2\\ 1\end{array}\right]$$

所以：

$$\boxed{{\displaystyle [v{]}_E=\left[\begin{array}{c}5\\ 2\\ 1\end{array}\right]}}$$

过渡矩阵的第三列就是 $b_3$ 在标准基下的坐标：

$$[b_3{]}_E=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$$

反方向的过渡矩阵为：

$$P_{E\to B}=P_{B\to E}^{-1}$$

不同教材对“过渡矩阵”的箭头命名可能相反，所以做题时首先写清楚矩阵的作用方向。本题中：

$$det(P_{B\to E})=-2\ne 0$$

因此这三个向量确实构成一组基。

3.3 为什么基向量按列排列

若向量在基 $B$ 下的坐标为：

$$[v{]}_B=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right]$$

基矩阵按列排列：

$$P=[b_1{b}_2\cdots b_n]$$

矩阵乘法正好给出：

$$P[v{]}_B=c_1{b}_1+c_2{b}_2+\cdots +c_n{b}_n$$

因此 $P$ 实现的是“新坐标到旧坐标”的转换。

同理，若线性变换 $T$ 在标准基下的矩阵为 $A$，则：

$$A=[T(e_1)T(e_2)\cdots T(e_n)]$$

矩阵的第 $j$ 列就是 $T(e_j)$ 的坐标。对任意列坐标 $x$：

$$Ax=x_{1}T(e_1)+\cdots +x_{n}T(e_n)$$

3.4 线性变换的换基公式

设：

$$T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$$

在旧坐标系下的矩阵为 $A$。定义域的新基矩阵为 $P$，值域的新基矩阵为 $Q$。输入的新坐标为 $x^{\prime }$，输出的新坐标为 $y^{\prime }$。

输入端：

$$x=P{x}^{\prime }$$

经过原线性变换：

$$y=Ax=AP{x}^{\prime }$$

输出端满足：

$$y=Q{y}^{\prime }$$

所以：

$$y^{\prime }=Q^{-1}y=Q^{-1}AP{x}^{\prime }$$

因此：

$$\boxed{{\displaystyle A^{\prime }=Q^{-1}AP}}$$

坐标流程是：

$$x^{\prime }⟶x⟶y⟶y^{\prime }$$

对应矩阵依次为 $P$、$A$、$Q^{-1}$，按作用顺序从右向左相乘。

如果定义域和值域使用同一个新基，即 $P=Q$，公式变成相似变换：

$$A^{\prime }=P^{-1}AP$$

3.5 非正交基下的点积

在标准正交基下：

$$v\cdot w=[v{]}_E^{\mathsf{T}}[w{]}_E$$

但在一般基 $B$ 下，不能直接把基坐标做普通点积。若：

$$P=[b_1\cdots b_n]$$

则：

$$\begin{array}{rl}v\cdot w& =(P[v{]}_B{)}^{\mathsf{T}}(P[w{]}_B)\\ & =[v{]}_B^{\mathsf{T}}{P}^{\mathsf{T}}P[w{]}_B\end{array}$$

记：

$$G_B=P^{\mathsf{T}}P$$

$G_B$ 称为基 $B$ 下的 Gram 矩阵，满足：

$$(G_B{)}_{ij}=b_i\cdot b_j$$

因此一般公式是：

$$\boxed{{\displaystyle v\cdot w=[v{]}_B^{\mathsf{T}}{G}_B[w{]}_B}}$$

只有当 $B$ 是正交归一基时，才有 $G_B=I$，此时才能直接计算：

$$v\cdot w=[v{]}_B^{\mathsf{T}}[w{]}_B$$

若基只正交但没有单位化，$G_B$ 是对角矩阵，仍不能无条件地直接相乘。

3.6 线性变换的矩阵表示

设 $T:V\to W$ 是线性变换，定义域使用有序基 $B=(b_1,\dots ,b_n)$，值域使用有序基 $C$。矩阵表示的第 $j$ 列，就是 $T$ 作用在第 $j$ 个定义域基向量后所得结果在值域基 $C$ 下的坐标：

$$\boxed{{\displaystyle [T{]}_{C\leftarrow B}=[[T(b_1){]}_C[T(b_2){]}_C\cdots [T(b_n){]}_C]}}$$

原因是，若输入向量的 $B$ 坐标为 $[v{]}_B$，则：

$$[T(v){]}_C=[T{]}_{C\leftarrow B}[v{]}_B$$

矩阵乘法正是把输入坐标的各个系数，分别乘到 $T(b_1),\dots ,T(b_n)$ 的坐标上再相加。因此，每个像向量的坐标必须作为一整列放入矩阵，而不是作为一行。

若定义域和值域使用同一个基 $B$，通常简写为：

$$[T{]}_B=[[T(b_1){]}_B\cdots [T(b_n){]}_B]$$

例：多项式空间中的线性变换

给定有序基

$$B=(1,x,x^2)$$

以及线性变换

$$T(p(x))=p^{\prime }(x)+2{\int }_0^{x}p(t)dt$$

依次把基向量 $1,x,x^2$ 代入 $T$。

对第一个基向量：

$$T(1)=1^{\prime }+2{\int }_0^{x}1dt=0+2x=2x$$

所以：

$$[T(1){]}_B=\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right]$$

对第二个基向量：

$$\begin{array}{rl}T(x)& =x^{\prime }+2{\int }_0^{x}tdt\\ & =1+2\cdot \frac{x^2}{2}\\ & =1+x^2\end{array}$$

注意前面的系数 $2$ 不能漏掉，它与积分产生的 $\frac{1}{2}$ 抵消。因此：

$$[T(x){]}_B=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

对第三个基向量：

$$\begin{array}{rl}T(x^2)& =(x^2{)}^{\prime }+2{\int }_0^x{t}^{2}dt\\ & =2x+\frac{2}{3}{x}^3\end{array}$$

题目规定 $x^3=0$，所以：

$$T(x^2)=2x$$

从而：

$$[T(x^2){]}_B=\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right]$$

把三个坐标列向量按基的顺序拼接：

$$\begin{array}{rl}{}_B& =[[T(1){]}_B[T(x){]}_B[T(x^2){]}_B]\\ & =\boxed{{\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 2& 0& 2\\ 0& 1& 0\end{array}\right]}}\end{array}$$

这里的 $x^3=0$ 是题目给定的代数规则，并不是通常多项式中的恒等式。在普通多项式空间中，$x^3\ne 0$，此时：

$$T(x^2)=2x+\frac{2}{3}{x}^3$$

不属于 $\mathrm{span}(1,x,x^2)$，因此 $T$ 不能看作这个三维空间到自身的线性变换，也就不能直接得到上面的 $3\times 3$ 矩阵。遇到类似题目时，要先确认题目是否给出了截断、商空间或其他使 $x^3$ 被视为零的规则。

这类题的固定套路是：

1. 确认定义域和值域的有序基，以及基向量的排列顺序；
2. 依次计算 $T(b_1),\dots ,T(b_n)$；
3. 将每个结果表示成值域基下的坐标；
4. 按顺序把这些坐标作为矩阵的列。

3.7 像空间、核空间与秩-零度定理

把线性变换 $T:V\to W$ 想成“输入向量经过变换得到输出向量”的机器，可以用两个空间描述它：

像空间是所有可能输出的集合：

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{Im}(T)=\{T(v)\mid v\in V\}}}$$

它是值域 $W$ 的子空间，所以：

$$\mathrm{Im}(T)\subseteq W,\dim \mathrm{Im}(T)\le \dim W$$

核空间是所有被变换为零向量的输入的集合：

$$\boxed{{\displaystyle \ker (T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}}}$$

它是定义域 $V$ 的子空间，所以：

$$\ker (T)\subseteq V$$

最容易混淆的一点是：核空间看的是“哪些输入会变成零”，像空间看的是“能够得到哪些输出”。例如：

$$T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2,T(x,y,z)=(x,y)$$

对任意 $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$，取输入 $(a,b,0)$ 就有：

$$T(a,b,0)=(a,b)$$

因此：

$$\mathrm{Im}(T)={\mathbb{R}}^2$$

而 $T(x,y,z)=(0,0)$ 当且仅当 $x=y=0$，$z$ 可以任意取值，所以：

$$\ker (T)=\{(0,0,z)\mid z\in \mathbb{R}\}=\mathrm{span}\left\{\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}$$

这是 ${\mathbb{R}}^3$ 中一条经过原点的直线。

秩-零度定理

对有限维空间中的线性变换 $T:V\to W$，有：

$$\boxed{{\displaystyle \dim \ker (T)+\dim \mathrm{Im}(T)=\dim V}}$$

其中 $\dim \ker (T)$ 称为零度，$\dim \mathrm{Im}(T)$ 就是变换的秩。定理中的右侧是定义域的维度，而不是值域的维度。

特别地，如果：

$$T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$$

因为像空间是 ${\mathbb{R}}^2$ 的子空间，所以：

$$\dim \mathrm{Im}(T)\le 2$$

从而：

$$\dim \ker (T)=3-\dim \mathrm{Im}(T)\ge 1$$

因此核空间至少是一维，必然包含一条经过原点的直线。若像空间维度为 $2$，核空间维度恰好为 $1$；若像空间维度更小，核空间的维度会更大。

例：由两个基向量的像判断像空间和核空间维数

若已知：

$$T(e_1)=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right],T(e_2)=\left[\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right]$$

考察这两个输出向量是否线性无关：

$$det\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 3\end{array}\right]=6+1=7\ne 0$$

所以 $T(e_1),T(e_2)$ 线性无关，并且已经张成 ${\mathbb{R}}^2$。由于它们属于像空间，而像空间本身又包含于 ${\mathbb{R}}^2$，因此：

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{Im}(T)={\mathbb{R}}^2}}$$

于是：

$$\dim \ker (T)=3-2=1$$

所以核空间恰好是一条经过原点的直线。即使 $T(e_3)$ 未知，也不影响像空间的判断和核空间维数的判断；但要写出这条直线的具体方向，通常还需要知道 $T(e_3)$。

矩阵语言

若 $A$ 是线性变换 $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ 在标准基下的矩阵，则：

$$\mathrm{Im}(T)=\mathrm{Col}(A)$$$$\ker (T)=\mathrm{Null}(A)=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid Ax=0\}$$

因此秩-零度定理也写成：

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{rank}(A)+\mathrm{nullity}(A)=n}}$$

这里 $n$ 是矩阵的列数，也就是线性变换定义域的维度。

四、矩阵、初等变换与秩

4.1 矩阵的基本表示

一个 $m\times n$ 矩阵写成：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$$

它有 $m$ 行、$n$ 列，也可以看成从 ${\mathbb{R}}^n$ 到 ${\mathbb{R}}^m$ 的线性变换。

矩阵的列向量构成列空间：

$$\mathrm{Col}(A)$$

矩阵的行向量构成行空间：

$$\mathrm{Row}(A)$$

4.2 初等行变换

三类初等行变换是：

1. 交换两行：$R_i\leftrightarrow R_j$；
2. 某行乘以非零常数：$R_i\leftarrow c{R}_i$，其中 $c\ne 0$；
3. 某行加上另一行的倍数：$R_i\leftarrow R_i+c{R}_j$。

这些变换都可逆，因此不改变矩阵的秩。对增广矩阵进行这些变换时，也不改变对应线性方程组的解集。

4.3 行阶梯形与行最简形

行阶梯形矩阵满足：

• 所有零行位于非零行下方；
• 下一行的主元严格位于上一行主元的右侧；
• 每个主元下方的元素为 0。

行最简形矩阵还需要满足：

• 每个主元都是 1；
• 每个主元所在列除主元外其余元素都是 0。

实际消元时可以分为两阶段：先化为行阶梯形，再把主元化为 1 并消去主元上方的元素。

4.4 矩阵的秩

矩阵 $A$ 的秩可以通过消元得到：

1. 将 $A$ 化为行阶梯形；
2. 统计主元个数，或统计非零行数；
3. 该数量就是 $\mathrm{rank}(A)$。

若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，则：

$$0\le \mathrm{rank}(A)\le min(m,n)$$

4.5 行秩等于列秩

对任意矩阵：

$$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{rank}}_{\mathrm{row}}(A)={\mathrm{rank}}_{\mathrm{col}}(A)=\mathrm{rank}(A)}}$$

也就是：

$$\boxed{{\displaystyle \dim (\mathrm{Row}(A))=\dim (\mathrm{Col}(A))=\mathrm{rank}(A)}}$$

理解方式如下：将 $A$ 通过可逆初等行变换化为行阶梯形矩阵 $R$。如果 $R$ 有 $r$ 个主元，那么 $R$ 的非零行有 $r$ 个且线性无关，行秩是 $r$；$R$ 的主元列有 $r$ 个且线性无关，其余列可以由主元列表示，列秩也是 $r$。初等行变换不会改变列之间的线性依赖关系，所以原矩阵 $A$ 的列秩同样为 $r$。

因此实际做题时不需要分别计算行秩和列秩，消元后数主元即可。主元列的位置可以用来确定原矩阵的极大线性无关列组，但最终选取的向量要回到原矩阵中取得。

五、向量组的秩与线性关系

5.1 向量组的秩

设向量组为 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_p$，每个向量有 $n$ 个分量。把它们按列组成矩阵：

$$A=[{\alpha }_1{\alpha }_2\cdots {\alpha }_p]$$

则向量组的秩就是矩阵 $A$ 的秩：

$$\mathrm{rank}({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_p)=\mathrm{rank}(A)$$

本质上，向量组的秩就是其中最多能选出的线性无关向量个数。

5.2 极大线性无关组

求一个向量组的极大线性无关组：

1. 将向量按列组成矩阵；
2. 对矩阵做行变换；
3. 找出行阶梯形中的主元列位置；
4. 回到原矩阵，取这些位置对应的原列向量。

极大线性无关组中向量的个数等于向量组的秩。行变换后的列向量通常不是原向量，不能直接把它们作为答案。

代表例题：从四个向量中找极大线性无关组

给定

$${\alpha }_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 4\end{array}\right],{\alpha }_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\\ 5\end{array}\right]$$$${\alpha }_3=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 3\\ -2\end{array}\right],{\alpha }_4=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\\ 5\\ 6\end{array}\right]$$

先考察 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$。两个非零向量不是倍数关系，因此线性无关：

$$\{{\alpha }_1,{\alpha }_2\}\text{ 线性无关}$$

再检查其余向量是否能由它们表示：

$$-3{\alpha }_1+2{\alpha }_2=-3\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 4\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\\ 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 3\\ -2\end{array}\right]={\alpha }_3$$

所以

$${\alpha }_3=-3{\alpha }_1+2{\alpha }_2$$

同理，

$$2{\alpha }_2-{\alpha }_1=2\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\\ 5\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\\ 5\\ 6\end{array}\right]={\alpha }_4$$

因此 ${\alpha }_3,{\alpha }_4$ 都没有带来新的独立方向，四个向量都可以由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 表示。于是：

$$\boxed{{\displaystyle \{{\alpha }_1,{\alpha }_2\}\text{ 是一个极大线性无关组}}}$$

并且

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{rank}({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)=2}}$$

这里“极大”不是指向量的大小，而是指不能再从原向量组中加入其他向量而保持线性无关。例如：

$${\alpha }_3=-3{\alpha }_1+2{\alpha }_2⟹3{\alpha }_1-2{\alpha }_2+{\alpha }_3=0$$

所以 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\}$ 已经线性相关，不能作为线性无关组。判断出某个向量能由已选向量表示后，就应当舍去该向量，继续检查剩余向量。

**易错点：**若题解写成 ${\alpha }_4={\alpha }_1+{\alpha }_2$，可以直接验算发现

$${\alpha }_1+{\alpha }_2=\left[\begin{array}{c}3\\ 2\\ 4\\ 9\end{array}\right]\ne \left[\begin{array}{c}3\\ 1\\ 5\\ 6\end{array}\right]={\alpha }_4$$

正确关系是

$$\boxed{{\displaystyle {\alpha }_4=2{\alpha }_2-{\alpha }_1}}$$

5.3 判断线性表示

要判断 $\beta$ 是否能由 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_p$ 线性表示，令：

$$A=[{\alpha }_1\cdots {\alpha }_p]$$

则：

$$\beta \in \mathrm{span}({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_p)⟺\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A\mid \beta ])$$

也可以直接求解：

$$Ac=\beta$$

若有解，解向量 $c$ 的分量就是线性表示的系数；若加入 $\beta$ 后秩增加，则 $\beta$ 不能由原向量组线性表示。

六、线性方程组

6.1 矩阵形式

线性方程组写成：

$$Ax=b$$

其中 $A$ 是系数矩阵，$x$ 是未知数列向量，$b$ 是常数列向量。将 $b$ 拼接到 $A$ 的右侧得到增广矩阵：

$$[A\mid b]$$

6.2 用秩判断解的情况

设未知数个数为 $n$：

$$\mathrm{rank}(A)\ne \mathrm{rank}([A\mid b])⟹\text{无解}$$$$\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A\mid b])=n⟹\text{唯一解}$$$$\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A\mid b])<n⟹\text{无穷多解}$$

无解的典型行是：

$$\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& \cdots & 0& \mid & c\end{array}\right],c\ne 0$$

它对应矛盾式 $0=c$。

6.3 求通解

求通解的步骤：

1. 写出增广矩阵；
2. 化为行最简形；
3. 找出主元变量和自由变量；
4. 用自由变量表示主元变量；
5. 令自由变量为参数，整理成向量形式。

例如，若化简后得到：

$$x_1+x_3=3,x_2-2x_3=-8,x_4=6$$

令自由变量 $x_3=t$，则：

$$x_1=3-t,x_2=-8+2t,x_3=t,x_4=6$$

向量形式为：

$$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ -8\\ 0\\ 6\end{array}\right]t\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\\ 0\end{array}\right]$$

自由变量的个数就是解的自由度。齐次方程组 $Ax=0$ 始终有零解；若 $\mathrm{rank}(A)<n$，则存在非零解。

七、行列式、逆矩阵与可逆性

7.1 行列式

行列式只对方阵定义。二阶行列式：

$$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$$

7.2 初等变换对行列式的影响

行变换	行列式变化
交换两行	变为原来的相反数
某行乘以 $c$	行列式乘以 $c$
某行加上另一行的倍数	行列式不变

将矩阵化为上三角矩阵后，行列式等于主对角线元素之积：

$$det(A)=a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}$$

若消元中交换过行或对某行做过倍乘，必须把相应的符号和倍数变化记录下来。

常用性质：

• 两行相同或成比例时，$det(A)=0$；
• 某行或某列全为 0 时，$det(A)=0$；
• $det(AB)=det(A)det(B)$；
• $det(A^{\mathsf{T}})=det(A)$。

7.3 逆矩阵与可逆性

对 $n\times n$ 方阵 $A$，若存在 $A^{-1}$ 使：

$$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$$

则 $A$ 可逆。下列条件彼此等价：

$$\begin{array}{rl}A\text{ 可逆}& ⟺det(A)\ne 0\\ & ⟺\mathrm{rank}(A)=n\\ & ⟺A\text{ 的行最简形为 }I\\ & ⟺Ax=0\text{ 只有零解}\end{array}$$

7.4 Gauss–Jordan 求逆

把 $A$ 和单位矩阵拼接：

$$[A\mid I]$$

对整个增广矩阵做行变换，直到左半部分变成单位矩阵：

$$[A\mid I]⟶[I\mid A^{-1}]$$

右半部分就是逆矩阵。如果左半部分不能化为 $I$，则矩阵不可逆。

八、特征值、特征向量与对角化

8.1 定义

若存在非零向量 $x$ 和标量 $\lambda$，满足：

$$Ax=\lambda x,x\ne \mathbf{0}$$

则 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$x$ 是对应的特征向量。移项得到：

$$(A-\lambda I)x=0$$

要存在非零解，必须有：

$$det(A-\lambda I)=0$$

8.2 求特征值

对 $n\times n$ 矩阵：

1. 构造 $A-\lambda I$，只对主对角线元素减去 $\lambda$；
2. 计算 $det(A-\lambda I)$；
3. 令特征多项式等于 0，解出 $\lambda$。

特征值按代数重数计算通常有 $n$ 个，但不同特征值的个数可能少于 $n$。

8.3 求特征向量

对每个不同的特征值 $\lambda$：

1. 构造 $(A-\lambda I)x=0$；
2. 对系数矩阵做行化简；
3. 求齐次方程组的通解；
4. 通解中的参数不能全部为 0，所有非零解都是对应的特征向量。

对应特征值的全部特征向量连同零向量构成特征子空间：

$$E_{\lambda }=\ker (A-\lambda I)$$

8.4 重根与可对角化

特征值重复出现时，不能只看特征值的代数重数，还要看特征向量是否足够多。$n\times n$ 矩阵可对角化，当且仅当存在 $n$ 个线性无关的特征向量。

若 $p_1,\dots ,p_n$ 是线性无关的特征向量，对应特征值为 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$，令：

$$P=[p_1{p}_2\cdots p_n],\mathrm{\Lambda }=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$$

则：

$$AP=P\mathrm{\Lambda }$$

从而：

$$\boxed{{\displaystyle P^{-1}AP=\mathrm{\Lambda }}}$$

这里 $P$ 的列必须是特征向量，列的顺序必须和 $\mathrm{\Lambda }$ 中特征值的顺序对应。

若 $A$ 是实对称矩阵，则可以找到正交矩阵 $Q$，使：

$$Q^{\mathsf{T}}AQ=\mathrm{\Lambda },Q^{-1}=Q^{\mathsf{T}}$$

这称为正交对角化。

九、二次型与正交变换

9.1 二次型的矩阵表示

二次型可以写成：

$$f(x)=x^{\mathsf{T}}Ax$$

通常取 $A$ 为对称矩阵。三元二次型展开为：

$$\begin{array}{rl}f(x_1,x_2,x_3)=& a_{11}{x}_1^2+a_{22}{x}_2^2+a_{33}{x}_3^2\\ & +2a_{12}{x}_1{x}_2+2a_{13}{x}_1{x}_3+2a_{23}{x}_2{x}_3\end{array}$$

读出矩阵时：

• $x_i^2$ 的系数直接放在 $a_{ii}$；
• $x_i{x}_j$ 的系数要在 $a_{ij}$ 和 $a_{ji}$ 之间平分；
• 对称位置满足 $a_{ij}=a_{ji}$。

例如：

$$f=2x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1{x}_2$$

对应矩阵为：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$$

交叉项 $2x_1{x}_2$ 的系数是 2，因此两个对称位置各放 1；若交叉项是 $-2x_1{x}_2$，两个位置各放 $-1$。

9.2 正交变换化标准形

对于实对称矩阵 $A$，可以找到正交矩阵 $Q$ 使：

$$Q^{\mathsf{T}}AQ=\mathrm{\Lambda }=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$$

令：

$$x=Qy$$

则：

$$\begin{array}{rl}f(x)& =x^{\mathsf{T}}Ax\\ & =y^{\mathsf{T}}{Q}^{\mathsf{T}}AQy\\ & =y^{\mathsf{T}}\mathrm{\Lambda }y\\ & ={\lambda }_1{y}_1^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2\end{array}$$

标准流程是：

1. 从二次型写出对称矩阵 $A$；
2. 求 $A$ 的特征值和特征向量；
3. 将特征向量单位化，组成正交矩阵 $Q$；
4. 写出正交变换 $x=Qy$；
5. 用特征值写出标准形。

9.3 正交变换保持的几何量

若实方阵 $Q$ 满足：

$$\boxed{{\displaystyle Q^{\mathsf{T}}Q=I}}$$

则 $Q$ 是正交矩阵，并且：

$$Q^{-1}=Q^{\mathsf{T}}$$

正交变换可以理解为对整个空间进行旋转或反射。它保持欧氏几何中的长度、内积、夹角和欧氏距离，但不保证保持每个坐标分量或所有范数。

内积与 $L_2$ 长度

对任意向量 $u,v$：

$$\begin{array}{rl}⟨Qu,Qv⟩& =(Qu{)}^{\mathsf{T}}(Qv)\\ & =u^{\mathsf{T}}{Q}^{\mathsf{T}}Qv\\ & =u^{\mathsf{T}}v\\ & =⟨u,v⟩\end{array}$$

因此正交变换保持内积：

$$\boxed{{\displaystyle ⟨Qu,Qv⟩=⟨u,v⟩}}$$

令 $v=u$，可以得到 $L_2$ 长度保持：

$$\begin{array}{rl}\parallel Qu{\parallel }_2^2& =(Qu{)}^{\mathsf{T}}(Qu)\\ & =u^{\mathsf{T}}{Q}^{\mathsf{T}}Qu\\ & =u^{\mathsf{T}}u\\ & =\parallel u{\parallel }_2^2\end{array}$$

所以：

$$\boxed{{\displaystyle \parallel Qu{\parallel }_2=\parallel u{\parallel }_2}}$$

欧氏距离与夹角

两个向量之间的欧氏距离是差向量的 $L_2$ 长度。由线性性和长度保持性：

$$\begin{array}{rl}\parallel Qu-Qv{\parallel }_2& =\parallel Q(u-v){\parallel }_2\\ & =\parallel u-v{\parallel }_2\end{array}$$

因此：

$$\boxed{{\displaystyle \parallel Qu-Qv{\parallel }_2=\parallel u-v{\parallel }_2}}$$

对于非零向量，余弦相似度也保持不变：

$$\begin{array}{rl}\cos \mathrm{\angle }(Qu,Qv)& =\frac{(Qu{)}^{\mathsf{T}}(Qv)}{\parallel Qu{\parallel }_2\parallel Qv{\parallel }_2}\\ & =\frac{u^{\mathsf{T}}v}{\parallel u{\parallel }_2\parallel v{\parallel }_2}\\ & =\cos \mathrm{\angle }(u,v)\end{array}$$

所以正交变换保持向量之间的夹角和余弦相似度。

$L_1$ 范数一般不保持

$L_1$ 范数依赖于向量在各坐标轴上的分量：

$$\parallel x{\parallel }_1=\sum _{i=1}^n|x_i|$$

旋转会改变这些坐标分量，因此一般不能推出 $\parallel Qx{\parallel }_1=\parallel x{\parallel }_1$。例如取二维的 ${45}^{\circ }$ 旋转矩阵：

$$Q=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right],u=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$$

则：

$$\parallel u{\parallel }_1=1$$

但：

$$Qu=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right],\parallel Qu{\parallel }_1=\sqrt{2}$$

所以：

$$\boxed{{\displaystyle \parallel Qu{\parallel }_1\text{ 一般不等于 }\parallel u{\parallel }_1}}$$

注意“通常不保持”不是“任何正交矩阵都不保持”。坐标置换、坐标符号翻转等特殊正交矩阵仍然保持 $L_1$ 范数；不能对任意正交矩阵作此保证。

因此，遇到 $Q^{\mathsf{T}}Q=I$ 的判断题，可以记住：

$$\boxed{{\displaystyle \text{保持：内积、}{L}_2\text{ 长度、欧氏距离、夹角、余弦相似度}}}$$$$\boxed{{\displaystyle \text{一般不保证保持：}{L}_1\text{ 范数和各个坐标分量}}}$$

十、统一做题顺序

遇到线性代数基础题，可以先根据题目对象定位：

1. 看到基坐标：先确认坐标属于哪一组基，不能默认是标准坐标；
2. 看到过渡矩阵：明确矩阵的转换方向，基向量通常按列排列；
3. 看到点积：确认当前基是否正交归一；一般基要使用 Gram 矩阵；
4. 看到叉积：确认是三维向量，并注意结果方向和输入顺序；
5. 看到子空间：先检查零向量，再检查加法和数乘封闭；
6. 看到矩阵秩：消元后数主元或非零行；
7. 看到向量组：按列组成矩阵，用秩判断相关性和极大无关组；
8. 看到线性表示：比较 $\mathrm{rank}(A)$ 与 $\mathrm{rank}([A\mid \beta ])$；
9. 看到方程组：比较系数矩阵和增广矩阵的秩；
10. 看到逆矩阵：使用 $[A\mid I]⟶[I\mid A^{-1}]$；
11. 看到特征值：解 $det(A-\lambda I)=0$；
12. 看到特征向量：解 $(A-\lambda I)x=0$，但解不能取零向量；
13. 看到二次型：交叉项系数平分到对称矩阵的两个位置；
14. 看到正交矩阵：利用 $Q^{\mathsf{T}}Q=I$ 判断内积、$L_2$ 长度、距离和夹角是否保持，不要默认 $L_1$ 范数也保持。

必背结论

$$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}\text{基}& =\text{线性无关}+\text{张成整个空间}\\ \dim ({\mathbb{R}}^n)& =n\\ \mathrm{rank}(A)& =\dim (\mathrm{Row}(A))=\dim (\mathrm{Col}(A))\\ [v{]}_E& =P_{B\to E}[v{]}_B\\ [T{]}_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}& =Q^{-1}AP\\ det(A)\ne 0& ⟺A\text{ 可逆}\\ det(A-\lambda I)& =0\\ P^{-1}AP& =\mathrm{\Lambda }\end{array}}}$$

正交矩阵还满足：

$$\boxed{{\displaystyle Q^{\mathsf{T}}Q=I⟹\parallel Qx{\parallel }_2=\parallel x{\parallel }_2,⟨Qu,Qv⟩=⟨u,v⟩}}$$

这些结论分别对应空间结构、坐标转换、秩与独立性、方程组、可逆性、特征问题和二次型的主线。做题时先识别对象和坐标系，再选择对应定理或消元方法。